Une invitation à la théorie géométrique de la mesure

Les textes réunis dans ce volume présentent, par l'intermédiaire de problèmes classiques de géométrie, les aspects géométriques, parfois mal connus, de la théorie de la mesure. On y trouvera aussi des applications récentes de la théorie de la mesure géométrique.

Emmanuel Russ considère le problème isopérimétrique, qui semble remonter à l'Antiquité grecque : parmi toutes les figures planes de même périmètre, quelle est celle dont l'aire est la plus grande ? Il s'intéresse aussi à l'inégalité isodiamétrique qui, quant à elle, affirme que, parmi toutes les figures planes de diamètre fixé, celle qui a l'aire maximale est le disque. Enfin, il fait le lien avec d'autres inégalités géométriques et fonctionnelles et examine des situations non euclidiennes.

En 1917, Kakeya posait le problème suivant : quelle est l'aire minimale d'un ensemble plan pour pouvoir y tourner de 180 degrés une aiguille de longueur 1 ? La réponse donnée par Besicovitch est qu'on peut retourner l'aiguille dans un ensemble d'aire aussi petite que l'on veut ! Hervé Pajot explique la solution de ce problème en utilisant des notions de théorie géométrique de la mesure (mesures et dimension de Hausdorff, rectifiabilité). Il discute ensuite des versions actuelles du problème de Kakeya, par exemple dans les corps finis.

Enfin, Antoine Lemenant présente, à partir des outils de théorie de la mesure géométrique, la fonctionnelle de Mumford-Shah et ses minimiseurs. Cette fonctionnelle sert à la résolution d'au moins deux problèmes bien concrets: la segmentation d'image (trouver les contours d'une image donnée), et la propagation de fissures en mécanique des milieux continus.